КРИСТОФФЕЛЯ ШВАРЦА ФОРМУЛА

-формула

дающая интегральное представление функции f(z), конформно отображающей верхнюю полуплоскость на внутренность ограниченного многоугольника с вершинами и углами при вершинах <. При этом - некоторые постоянные, Постоянную z₀ можно фиксировать произвольно в верхней полуплоскости. Тройку точек из напр, можно задавать произвольно; остальные п-3 точки a_k, а также постоянные с, c₁ определяются однозначно, если вершины многоугольника заданы (см. [3]). Формула (*) была получена независимо Э. Кристоффелем (1867, см. [1]) и Г. Шварцем (1869, см. [2]). Интеграл в правой части (*) наз. интегралом Кристоффеля - Шварца.

Основная трудность при применении формулы (*) состоит в нахождении неизвестных параметров. При n>4 общие методы неизвестны. Разработаны методы приближенного отыскания параметров К.- Ш. ф. (см. [4], [5]).

К.- Ш. ф. остается справедливой и для многоугольников, у к-рых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке. В этом случае угол между сторонами многоугольника в бесконечности определяется как угол, взятый со знаком минус, между этими же сторонами или их продолжениями в конечной точке.Если прообраз а _i одной из вершин многоугольника находится в бесконечно удаленной точке, то соответствующий множитель в формуле (*) выпадает.

К.- Ш. ф. справедлива также для функции, отображающей единичный круг на рассмотренный выше многоугольник. В этом случае Видоизменения этой формулы охватывают случаи отображения верхней полуплоскости, а также внутренности и внешности единичного круга на внешность многоугольника (см. [3]).

К.- Ш. ф. обобщена на случай, когда функция f(z) конформно отображает круговое кольцо или, в более общем случае, многосвязную область, состоящую из круга с выброшенными из него пкругами, на область соответствующей связности, ограниченную многоугольниками (см. [6], [7]).

Лит.:[1] Christoffel E. В., "Ann. math. pura ed appl.", Ser. 2, 1868, t. 1, p. 89-103; 1871, t. 4, p. 1 - 9; [2] Schwarz H. A., Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd 1-2, В., 1890; [3] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного- переменного, 4 изд., М., 1973; [4] К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.- Л., 1962; [5] Коппенфельс В., Штальман Ф., Практика конформных отображений, пер. с нем., М., 1963; [6] А х и е з е р Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970; [7] Максимов Ю. Д., "Докл. АН СССР", 1960, т. 136, № 2, с. 284-87. Ю. Д. Максимов.